Leszczyński był kierownikiem Zakładu Literatury Popularnej, Dziecięcej i Młodzieżowej Uniwersytetu Warszawskiego, przez wiele lat był dyrektorem Centrum Języka Polskiego i Kultury Polskiej dla Cudzoziemców Polonicum. Kieruje studiami podyplomowymi „Literatura i książka dla dzieci i młodzieży wobec wyzwań nowoczesności”.
Pracę na Uniwersytecie Warszawskim rozpoczął w 1979 roku. W 1989 obronił pracę doktorską, wydaną w wersji skróconej jako Młodopolska lekcja fantazji. O przełomie antypozytywistycznym w literaturze fantastycznej dla dzieci i młodzieży (1990), w 2006 – uzyskał stopień doktora habilitowanego na podstawie rozprawy Kulturowy obraz dziecka i dzieciństwa w literaturze drugiej połowy XIX i w XX w. W 2018 roku otrzymał tytuł profesora.
W 1993 roku Leszczyński należał do komitetu założycielskiego Stowarzyszenia Przyjaciół Książki dla Młodych – Polskiej Sekcji IBBY, był także prezesem (do 1994 roku) i wiceprezesem (w latach 1995–1998) tego stowarzyszenia.
W 2014 roku był przewodniczącym Kapituły Nagrody Pary Prezydenckiej za wybitne osiągnięcia w twórczości dla dzieci i młodzieży, w latach 2002–2005 – przewodniczącym Kapituły Nagrody Prezydenta Rzeczypospolitej Polskiej „Sztuka Młodym”. W latach 1994–2000 pracował w Telewizji Polskiej jako zastępca dyrektora Redakcji Dziecięcej.
Grzegorz Leszczyński w 2013 roku otrzymał nominację do Nagrody Ikara w kategorii Popularyzacja. Otrzymał także statuetkę Pegazika w kategorii Przyjaciel Książki, przyznawaną podczas Poznańskich Spotkań Targowych – Książka dla Dzieci, Młodzieży i Rodziców. Jest członkiem honorowym Polskiej Sekcji IBBY oraz Polskiego Towarzystwa Wydawców Książek.