Ukończył studia polonistyczne na Uniwersytecie im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, gdzie podjął pracę naukowo-dydaktyczną i doktoryzował się. Jako poeta i krytyk debiutował w 1965 roku. W latach 1967–1971 pracował w redakcji poznańskiego miesięcznika „Nurt”.
Po wydarzeniach czerwca 1976 roku był współzałożycielem Komitetu Obrony Robotników oraz podziemnego kwartalnika „Zapis”. Od 1981 roku wykładał w USA literaturę polską na Harvardzie i był redaktorem naczelnym „The Polish Review”. W 1983 roku był współzałożycielem paryskich „Zeszytów Literackich”, współpracował z periodykiem „Teksty Drugie”.
Czołowy poeta pokolenia „Nowej Fali”, był jednym z najwybitniejszych polskich pisarzy debiutujących w latach istnienia PRL, łączącym twórczość literacką i naukową z działalnością polityczną.
W 1981 roku wyjechał do Stanów Zjednoczonych, gdzie objął katedrę języka i literatury polskiej im. A. Jurzykowskiego na wydziale slawistyki Uniwersytetu Harvarda. Od 1983 roku współredagował wydawane w Paryżu „Zeszyty Literackie”, w latach 1986–1990 był także redaktorem naczelnym amerykańskiego kwartalnika naukowego „The Polish Review”. Był członkiem Polskiego Towarzystwa Naukowego na Obczyźnie.
W drugiej połowie XX wieku najwybitniejszy tłumacz anglojęzycznej poezji na język polski, a także poezji polskiej na język angielski. Jego polszczyzna była nasycona językiem poetów szczególnie mu bliskich – Emily Dickinson, Johna Donne’a i Roberta Frosta – których poezji Barańczak był niestrudzonym popularyzatorem. W jego własnej twórczości wyraźnie widoczne są trzy dominujące elementy: zainteresowania etyczne, niezwykła pasja polityczna i nadzwyczajna sprawność lingwistyczna.
Podejmowanym przez niego tematom, świadczącym o zaangażowaniu w problemy społeczne, zawsze towarzyszyła zadziwiająca biegłość języka. Paradoksem wydawać się może fakt, że Barańczak, który zaczynał jako poeta-krytyk języka i społecznego porządku, największe sukcesy osiągnął jako parnasista końca XX wieku, wirtuoz poetyckiej formy.
Laureat wielu nagród, między innymi Nagrody Fundacji im. Kościelskich (1972), nagrody PEN Clubu za przekłady (1990), Nagrody Literackiej „Nike” za tom poetycki Chirurgiczna precyzja, nagrody honorowej Instytutu Książki za wkład w promocję literatury polskiej w obszarze języka angielskiego oraz bogaty dorobek translatorski (2005), Wrocławskiej Nagrody Poetyckiej Silesius za całokształt twórczości (2009), Nagrody Ministra Kultury i Dziedzictwa Narodowego w dziedzinie literatury (2012). W 2006 roku otrzymał Krzyż Komandorski Orderu Odrodzenia Polski, w 2014 roku Złoty Medal „Zasłużony Kulturze Gloria Artis”, a rok później (pośmiertnie) Krzyż Wielki Orderu Odrodzenia Polski.
Został też uhonorowany doktoratami honoris causa przez uczelnie polskie i zagraniczne, w tym Uniwersytet Jagielloński, Uniwersytet Śląski czy Curry College w Milton. W 2008 roku otrzymał Honorowe Obywatelstwo Miasta Poznania, a w 2015 roku Poznań oraz Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w ramach Poznańskiej Nagrody Literackiej zainicjowali Stypendium im. Stanisława Barańczaka dla twórców, którzy nie ukończyli 35. roku życia.